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昔者圣人拟宸极以运璿玑，揆天行而序景曜，分辰野，辨躔历，敬农时，兴物利，皆以系顺两仪，纪纲万物者也。然则观象设卦，扐闰成爻，历数之原，存乎此也。逮乎炎帝，分八节以始农功，轩辕纪三纲而阐书契，乃使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，大挠造甲子，隶首作算数。容成综斯六术，考定气象，建五行，察发敛，起消息，正闰余，述而著焉，谓之调历。洎于少昊则凤鸟司历，颛顼则南正司天，陶唐则分命羲和，虞舜则因循尧法。及夏殷承运，周氏应期，正朔既殊，创法斯异。传曰：“火出，于夏为三月，于商为四月，于周为五月。”是故天子置日官，诸侯有日御，以和万国，以协三辰。至乎寒暑晦明之徵，阴阳生杀之数，启闭升降之纪，消息盈虚之节，皆应躔次而无淫流，故能该浃生灵，堪舆天地。周德既衰，史官失职，畴人分散，禨祥不理。秦并天下，颇推五胜，自以获水德之瑞，用十月为正。汉氏初兴，多所未暇，百有余载，袭秦正朔。爰及武帝，始诏司马迁等议造汉历，乃行夏正。其后刘歆更造夏三统，以说左传，辩而非实，班固惑之，采以为志。逮光武中兴，太仆硃浮数言历有乖谬，于时天下初定，未能详考。至永平之末，改行四分，七十余年，仪式乃备。及光和中，乃命刘洪、蔡邕共修律历，其后司马彪因之，以继班史。今采魏文黄初已后言历数行事者，以续司马彪云。
汉灵帝时，会稽东部尉刘洪，考史官自古迄今历注，原其进退之行，察其出入之验，视其往来，度其终始，始悟四分于天疏阔，皆斗分太多故也。更以五百八十九为纪法，百四十五为斗分，作乾象法，冬至日日在斗二十二度，以术追日、月、五星之行，推而上则合于古，引而下则应于今。其为之也，依易立数，遁行相号，潜处相求，名为乾象历。又创制日行迟速，兼考月行，阴阳交错于黄道表里，日行黄道，于赤道宿度复有进退。方于前法，转为精密矣。献帝建安元年，郑玄受其法，以为穷幽极微，又加注释焉。
魏文帝黄初中，太史令高堂隆复详议历数，更有改革。太史丞韩翊以为乾象减斗分太过，后当先天，造黄初历，以四千八百八十三为纪法，千二百五为斗分。
其后尚书令陈群奏，以为：“历数难明，前代通儒多共纷争。黄初之元以四分历久远疏阔，大魏受命，宜改历明时，韩翊首建，犹巩不审，故以乾象互相参校。其所校日月行度，弦望朔晦，历三年，更相是非，无时而决。案三公议皆综尽典理，殊涂同归，欲使效之璿玑，各尽其法，一年之间，得失足定。”奏可。
太史令许芝云：“刘洪月行术用以来且四十余年，以复觉失一辰有奇。”
孙饮议：“史迁造太初，其后刘歆以为疏，复为三统。章和中，改为四分，以仪天度，考合符应，时有差跌，日蚀觉过半日。至熹平中，刘洪改为乾象，推天七曜之符，与天地合其叙。”
董巴议云：“圣人迹太阳于晷景，效太阴于弦望，明五星于见伏，正是非于晦朔。弦望伏见者，历数之纲纪，检验之明者也。”
徐岳议：“刘洪以历后天，潜精内思二十余载，参校汉家太初、三统、四分历术，课弦望于两仪郭间。而月行九岁一终，谓之九道；九章，百七十一岁，九道小终；九九八十一章，五百六十七分而九终，进退牛前四度五分。学者务追合四分，但减一道六十三分，分不下通，是以疏阔，皆由斗分多故也。课弦望当以昏明度月所在，则知加时先后之意，不宜用两仪郭间。洪加太初元十二纪，减十斗下分，元起己丑，又为月行迟疾交会及黄道去极度、五星术，理实粹密，信可长行。今韩翊所造，皆用洪法，小益斗下分，所错无几。翊所增减，致亦留思，然十术新立，犹未就悉，至于日蚀，有不尽效。效历之要，要在日蚀。熹平之际，时洪为郎，欲改四分，先上验日蚀：日蚀在晏，加时在辰，蚀从下上，三分侵二。事御之后如洪言，海内识真，莫不闻见，刘歆以来，未有洪比。夫以黄初二年六月二十九日戊辰加时未日蚀，乾象术加时申半强，于消息就加未，黄初以为加辛强，乾象后天一辰半强为近，黄初二辰半为远，消息与天近。三年正月丙寅朔加时申北日蚀，黄初加酉弱，乾象加午少，消息加未，黄初后天半辰近，乾象先天二辰少弱，于消息先天一辰强，为远天。三年十一月二十九日庚申加时西南维日蚀，乾象加未初，消息加申，黄初加未强，乾象先天一辰远，黄初先天半辰近，消息乾象近中天。二年七月十五日癸未，日加壬月加丙蚀，乾象月加申，消息加未，黄初月加子强，入甲申日，乾象后天二辰，消息后一辰为近，黄初后天六辰远。三年十一月十五日乙巳，日加丑月加未蚀，乾象月加巳半，于消息加午，黄初以丙午月加酉强，乾象先天二辰近，黄初后天二辰强为远，于消息于乾象先一辰。凡课日月蚀五事，乾象四远，黄初一近。”
翊于课难徐岳：“乾象消息但可减，不可加。加之无可说，不可用。”岳云：本术自有消息，受师法，以消息为奇，辞不能改，故列之正法消息。翊术自疏。
木以三年五月二十四日丁亥晨见；黄初五月十七日庚辰见，先七日；乾象五月十五日戊寅见，先九日。
土以二年十一月二十六日壬辰见；乾象十一月二十一日丁亥见，先五日；黄初十一月十八日甲申见，先八日。
土以三年十月十一日壬申伏；乾象同，壬申伏；黄初已下十月七日戊辰伏，先四日。
土以三年十一月二十二日壬子见；乾象十一月十五日乙巳见，先七日；黄初十一月十二日壬寅见，先十日。
金以三年闰六月十五日丁丑晨伏；乾象六月二十五日戊午伏，先十九日；黄初六月二十二日乙卯伏，先二十三日。
金以三年九月十一日壬寅见；乾象以八月十八日庚辰见，先二十三日；黄初八月十五日丁丑见，先二十五日。
水以二年十一月十七日癸未晨见；乾象十一月十三日己卯见，先四日；黄初十一月十二日戊寅见，先五日。
水以二年十二月十三日己酉晨伏；乾象十二月十五日辛亥伏，后二日；黄初十二月十四日庚戌伏，后一日。
水以三年五月十八日辛巳夕见；乾象亦以五月十八日见；黄初五月十七日庚辰见，先一日。
水以三年六月十三日丙午伏；乾象六月二十日癸丑伏，后七日；黄初六月十九日壬子伏，后六日。
水以三年闰六月二十五日丁亥晨见；乾象以闰月九日辛未见，先十六日；黄初闰月八日庚午见，先十七日。
水以三年七月七日己亥伏；乾象七月十一日癸卯伏，后四日；黄初以七月十日壬寅伏，后三日。
水以三年十一月日于晷度十四日甲辰伏；乾象以十一月九日己亥伏，先五日；黄初十一月八日戊戌伏，先六日。
水以三年十二月二十八日戊子夕见；二历同以十二月壬申见，俱先十六日。
凡四星见伏十五；乾象七近二中，黄初五近一中。
郎中李恩议：“以太史天度与相覆校，二年七月、三年十一月望与天度日皆差异，月蚀加时乃后天六时半，非从三度之谓，定为后天过半日也。”
董巴议曰：“昔伏羲始造八卦，作三画，以象二十四气。黄帝因之，初作调历。历代十一，更年五千，凡有七历。颛顼以今之孟春正月为元，其时正月朔旦立春，五星会于庙，营室也，冰冻始泮，蛰虫始发，鸡始三号，天曰作时，地曰作昌，人曰作乐，鸟兽万物莫不应和，故颛顼圣人为历宗也。汤作殷历弗复以正月朔旦立春为节也，更以十一月朔旦冬至为元首，下至周鲁及汉，皆从其节，据正四时。夏为得天，以承尧舜，从颛顼故也。礼记大戴曰虞夏之历，建正于孟春，此之谓也。”
杨伟请：“六十日中疏密可知，不待十年。若不从法，是校方员弃规矩，考轻重背权衡，课长短废尺寸，论是非违分理。若不先定校历之本法，而悬听弃法之末争，则孟轲所谓‘方寸之基，可使高于岑楼’者也。今韩翊据刘洪术者，知贵其术，珍其法。而弃其论，背其术，废其言，违其事，是非必使洪奇妙之式不传来世。若知而违之，是挟故而背师也；若不知而据之，是为挟不知而罔知也。”校议未定，会帝崩而寝。
至明帝景初元年，尚书郎杨伟造景初历。表上，帝遂改正朔，施行伟历，以建丑之月为正，改其年三月为孟夏，其孟、仲、季月虽与夏正不同，至于郊祀蒐狩，班宣时令，皆以建寅为正。三年正月帝崩，复用夏正。
其刘氏在蜀，仍汉四分历。吴中书令阚泽受刘洪乾象法于东莱徐岳，又加解注。中常待王蕃以洪术精妙，用推浑天之理，以制仪象及论，故孙氏用乾象历，至吴亡。
武帝践阼，泰始元年，因魏之景初历，改名泰始历。杨伟推五星尤疏阔，故元帝渡江左以后，更以乾象五星法代伟历。自黄初已后，改作历术，皆斟酌乾象所减斗分、朔余、月行阴阳迟疾，以求折衷。洪术为后代推步之师表，故先列之云。
乾象历
上元己丑以来，至建安十一年丙戌，岁积七千三百七十八年。
乾法，千一百七十八。
会通，七千一百七十一。
纪法，五百八十九。
周天，二十一万五千一百三十。
通法，四万三千二十六。
通数，三十一。
日法，千四百五十七。
岁中，十二。
余数，三千九十。
章岁，十九。
没法，百三。
章闰，七。
会数，四十七。
会岁，八百九十三。
章月，二百三十五。
会率，千八百八十二。
朔望合数，九百四十一。
会月，万一千四十五。
纪月，七千二百八十五。
元月，一万四千五百七十。
月周，七千八百七十四。
小周，二百五十四。
推入纪
置上元尽所求年，以乾法除之，不满乾法，以纪法除之，余不满纪法者，入内纪甲子年也。满法去之，入外纪甲午年也。
推朔
置入纪年，外所求，以章月乘之，章岁而一，所得为定积月，不尽为闰余。闰余十二以上，岁有闰。以通法乘定积月，为假积日，满日法为定积日，不尽为小余。以六旬去积日为大余，命以所入纪，算外，所求年天正十一月朔日也。
求次月，加大余二十九，小余七百七十三，小余满日法从大余。小余六百八十四已上，其月大。
推冬至
置入纪年，外所求，以余数乘之，满纪法为大余，不尽为小余。以六旬去之，命以纪，算外，天正冬至日也。
求二十四气
置冬至小余，加大余十五，小余五百一十五，满二千三百五十六从大余，命如法。
推闰月
以闰余减章岁，余以岁中乘之，满章闰为一月。不尽，半法己上亦一，有进退，以无中月。
推弦望
加大余七，小余五百五十七半，小余如日法从大余，余命如前，得上弦。又加得望，又加得下弦，又加得后月朔。其弦望定小余四百一以下，以百刻乘之，满日法得一刻，不尽什之，求分，以课所近节气夜漏未尽，以算上为日。
推没
置入纪年，外所求，以余数乘之，满纪法为积没，有余加尽积为一。以会通乘之，满没法为大余，不尽为小余。大余命以纪，算外，冬至后没日。
求次没，加大余六十九，小余六十四，满其法从大余，无分为灭。
推日度
以纪法乘积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度。命度以牛前五度起，宿次除之，不满宿，即天正朔夜半日所在。
求次日，加一度，经斗除分；分少，损一度为纪法，加焉。
推月度
以月周乘积日，满周天去之，余满纪法为度，不尽为分，命如上，则天正朔夜半月所在度。
求次月，小月加度二十二，分二百五十八。大月又加一日，度十三，分二百一十七，满法得一度。其冬下旬，月在张、心署之。
推合朔度
以章岁乘朔小余，满会数为大分；不尽，小分。以大分从朔夜半日分，满纪法从度，命如前，天正合朔日月所共会也。
求次月，加度二十九，大分三百一十二，小分满会数从大分，大分满纪法后度，经斗除大分。
求弦望日所在度，加合朔度七，分二百二十五，小分十七半，大小分及度命如前，则上弦日所在度。又加得望、下弦、后月合。
求弦望月行所在度，加合朔度九十八，大分四百八，小分四十一，大小分及度命如前合朔，则上弦月所在。又加得望、下弦、后月合。
求日月昏明度，日以纪法，月以月周，乘所近节气夜漏，二百而一为明分。日以减纪法，月以减月周，余为昏分。各以加夜半，如法为度。
推月蚀
置上元年，外所求，以会岁去之，其余年以会率乘之，如会岁为积蚀，有余加积一。会月乘之，如会率为积月，不尽为月余。以章闰乘余年，满章岁为积闰，以减积月，余以岁中去之，不尽，数起天正。
求次蚀，加五月，月余千六百三十五，满会率得一月，月以望。
推卦用事日
因冬至大余，倍其小余，坎用事日也。加小余千七十五，满乾法从大余，中孚用事日也。
求次卦，各加大余六，小余百三。其四正各因共中日，而倍其小余。
推五行用事
置冬至大小余，加大余二十七，小余九百二十七，满二千三百五十六从大余，得土用事日也。加大余十八，小余六百一十八，得立春木用事日。加大余七十三，小余百一十六，复得土。又加土如得其火，金、水放此。
推加时
以十二乘小余，满其法得一辰，数从子起，算外，朔、弦、望以定小余。
推漏刻
以百乘小余，满其法得一刻，不尽什之，求分，课所近节气，起夜分尽；夜上水未尽，以所近言之。
推有进退，进加退减所得也。进退有差，起二分度后，率四度转增少，少每半者，三而转之，差满三止，历五度而减如初。
月行三道术
月行迟疾，周进有恆。会数从天地凡数，乘余率自乘，如会数而一，为过周分。以从周天，月周除之，历日数也。迟疾有衰，其变者势也。以衰减加月行率，为日转度分。衰左右相加，为损益率。益转相益，损转相损，盈缩积也。半小周乘通法，如通数而一，以历周减焉，为朔行分也。
日转度分 列衰 损益率 盈缩积
月行分一日十四度 十分一退减 益二十二 盈初 二百七十六二日十四度
九分二退减 益二十一 盈二十二 二百七十五三日十四度
七分三退减 益十九 盈四十三 二百七十三四日十四度
四分四退减 益十六 盈六十二 二百七十五日十四度
四退减 益十二 盈七十八 二百六十六六日十三度
十五分四退减 益八 盈九十 二百六十二七日十三度
十一分四退减 益四 盈九十八 二百五十八八日十三度
七分四退减 损 盈百二 二百五十四九日十三度
三分四退加 损四 盈百二 二百五十十日十二度
十八分三退加 损八 盈九十八 二百四十六十一日十二度
十五分四退加 损十一 盈九十 二百四十三十二日十二度
十一分三退加 损十五 盈七十九 二百三十九十三日十二度
八分二退加 损十八 盈六十四 二百三十六十四日十二度
六分一退加 损二十 盈四十六 二百三十四十五日十二度
五分一进减 损二十一 盈二十六 二百三十三十六日十二度
六分二进减 损二十损不足反减五为益，盈有五谓益而损缩初二十，故不足。 盈五缩初 二百三十四十七日十二度
八分三进减 益十八 缩十五 二百三十六十八日十二度
十一分四进减 益十五 缩二十三 二百三十九十九日十二度
十五分三进减 益十一 缩四十八 二百四十三二十日十二度
十八分四进减 益八 缩五十九 二百四十六二十一日十三度
三分四进减 益四 缩六十七 二百五十二十二日十三度
七分四进加 损 缩七十一 二百五十四二十三日十三度
十一分四进加 损四 缩七十一 二百五十八二十四日十三度
十五分四进加 损八 缩六十七 二百六十二二十五日十四度
四进加 损十二 缩五十九 二百六十六二十六日十四度
四分三进加 损十六 缩四十七 二百七十二十七日十四度
七分三历初进加损十九 缩三十一 二百七十三三大周日周日十四度
九分少进加 损二十一 缩十二
二百七十五周日分，三千三百三。
周虚，二千六百六十六。
周日法，五千九百六十九。
通周，十八万五千三十九。
历周，十六万四千四百六十六。
少大法，一千一百一。
朔行大分，万一千八百一。
小分，二十五。
周半，一百二十七。
推合朔入历
以上元积月乘朔行大小分，小分满通数三十一从大分，大分满历周去之，余满周法得一日，不尽为日余。日余命算外，所求合朔入历也。
求次月，加一日，日余五千八百三十二，小分二十五。
求弦望，各加七日，日余二千二百八十三，小分二十九半，分各如法成日，日满二十七日去之。余如周分。不足除，减一日，加周虚。
求弦望定大小余
置所入历盈缩积，以通周乘之为实。令通数乘日余分，以乘损益率，以损益实，为加时盈缩也。章岁减月行分，乘周半为差法，以除之，所得盈减缩加大小余，如日法盈不足，朔加时在前后日。弦望进退大余，为定小余。
求朔弦望加时定度
以章岁乘加时盈缩，差法除之，所得满会数为盈缩大小分，以盈减缩加本日月所在，盈不足，以纪法进退度，为日月所在定度分。
推月行夜半入历
以周半乘朔小余，如通数而一，以减入历日余。余不足，加周法而减焉，却一日。却得周日加其分，即得夜半入历。
求次日，转一日，因日余到二十七日，日余满周日分去之，不直周日也。其不满直之，加周虚于余，余皆次日入历日余也。
求月夜半定度
以夜半入历日余，乘损益率，如周法得一，不尽为余，以损益缩积，余无所损，破全为法损之，为夜半盈缩也。满章岁为度，不尽为分。通数乘分及余，余如周法从分，分满纪法从度，以盈加缩减本夜半度及余，为定度。
求变衰法
以入历日余乘列衰，如周法得一，不尽为余，即谷知其日变衰也。
求次历
以周虚乘列衰，如周法为常数，历竟，辄以加变衰，满列衰去之，转为次历变衰也。
求次日夜半定度
以变衰进加退减历日转分，分盈不足，章岁出入度也。通数乘分及余，而日转加夜定度，为次日也。竟历不直周日，减余三十八，乃以通数乘之，直周日者加余八百三十七，又以少大分八百九十九，加次历变衰，转求如前。
求次日夜半盈缩
以变衰减加损益率，为变损益率，而以转损益夜半盈缩。历竟损不足，反减为入次历，减加余如上数。
求昏明月度
以历月行分乘所近节气夜漏，二百而一为明分。以减月行分为昏分。分如章岁为度，以通数乘分，以加夜半定度，为昏明定度。余分半法以上成，不满废之。
求月行迟疾
月经四表，出入三道，交错分天，以月率除之，为历之日。周天乘朔望合，如会月而一，朔合分也。通数乘合数，余如会数而一，退分也。以从月周，为日进分。会数而一，为差率也。
阴阳历 衰 损益率 兼数
一日 一减 益十七 初
二日限余千二百九十微分四百五十七
一减 益十六 十七
此为前限
三日 三减 益十五 三十三
四日 四减 益十二 四十八
五日 四减 益八 六十
六日 三减 益四 六十八
七日 三减减不足，反损为加，谓益有一，当减三，为不足
益一 七十二
八日 四加 损二过极损之，谓月行半周， 度已过极，则当损之。
九日 四加 损六 七十一
十日 三加 损十 六十五
十一日 二加 损十三 五十五
十二日 一加 损十五 四十二
十三日限余三千九百一十二， 微分一千七百五十二。
此为后限
一加历初大，分日。 损十六 二十七
分日五千二百而三少加少者 损十六大 十一
少大法，四百七十三。
历周，十万七千五百六十五。
差率，万一千九百八十六。
朔合分，万八千三百二十八。
微分，九百一十四。
微分法，二千二百九。
推朔入阴阳历
以会月去上元积月，余以朔合分及微分各乘之，微分满其法从合分，合分满周天去之，其余不满历周者，为入阳历；满去之，余为入阴历。余皆如月周得一日，算外，所求月合朔入历，不尽为日余。
求次月
加二日，日余二千五百八十，微分九百一十四，如法成日，满十三去之，除余如分日。阴阳历竟互入端，入历在前限余前，后限余后者月行中道也。
求朔望定数
各置入迟疾历盈缩大小分，会数乘小分为微分，盈减缩加阴阳日余，日余盈不足，进退日而定。以定日余乘损益率，如月周得一，以损益兼数，为加时定数。
推夜半入历
以差率乘朔小余，如微分法得一，以减入历日余，不足，加月周而减之，却一日。却得分日加其分，以会数约微分为小分，即朔日夜半入历。
求次日，加一日，日余三十一，小分三十一，小分如会数从余，余满月周去之，又加一日，历竟下，日余满分日去之，为入历初也。不满分日者直之，加余二千七百二，小分三十一，为入次历。
求夜半定日
以通数乘入迟疾历夜半盈缩及余，余满周半为小分，以盈加缩减入阴阳日余，日余盈不足，以月周进退日而定也。以定日余乘损益率，如月周得一，以损益兼数，为夜半定数也。
求昏明数
以损益率乘所近节气夜漏，二百而一为明，以减损益率为昏，而以损益夜半数为昏明定数。
求月去极度
置加时若昏明定数，以十二除之为度，其余三而一为少，不尽一为强，二少弱也，所得为月去黄道度也。其阳历以加日所在黄道历去极度，阴历以减之，则月去极度。强正弱负，强弱相并，同名相从，异名相消。其相减也，同名相消，异名相从，无对互之，二强进少而弱。
上元己丑以来，至建安十一年丙戌，岁积七千三百七十八。
己丑 戊寅 丁卯 丙辰 乙巳 甲午 癸未
壬申 辛酉 庚戌 己亥 戊子 丁丑 丙寅
推五星
五行：木，岁星；火，荧惑；土，填星；金，太白；水，辰星。各以终日与天度相约，为周率、日率。章岁乘周，为月法。章月乘日，为月分。分如法，为月数。通数乘月法，日度法也。斗分乘周率，为斗分。日度法用纪法乘周率，故此同以分乘之。
五星朔大余、小余。以通法各乘月数，日法各除之，为大余，不尽为小余。以六十去大余。
五星入月日、日余。各以通法乘月余，以合月法乘朔小余，并之，会数约之，所得各以日度法除之，则皆是。
五星度数、度余。减多为度余分，以周天乘之，以日度法约之，所得为度，不尽为度余，过周天去之及斗分。
纪月，七千二百八十五。
章闰，七。
章月，二百三十五。
岁中，十二。
通法，四万三千二十六。
日法，千四百五十七。
会数，四十七。
周天，二十一万五千一百三十。
斗分，一百四十五。
木：周率，六千七百二十二。
日率，七千三百四十一。
合月数，十三。
月余，六万四千八百一。
合月法，十二万七千七百一十八。
日度法，三百九十五万九千二百五十八。
朔大余，二十三。
朔小余，一千三百七。
入月日，十五。
日余，三百四十八万四千六百四十六。
朔虚分，一百五十。
斗分，九十七万四千六百九十。
度数，三十三。
度余，二百五十万九千九百五十六。
火：周率，三千四百七。
日率，七千二百七十一。
合月数，二十六。
月余，二万五千六百二十七。
合月法，六万四千七百三十三。
日度法，二百万六千七百二十三。
朔大余，四十七。
朔小余，一千一百五十七。
入月日，十二。
日余，九十七万三千一十三。
朔虚分，三百。
斗分，四十九万四千一十五。
度数，四十八。
度余，一百九十九万一千七百六。
土：周度，三千五百二十九。
日率，三千六百五十三。
合月数，十二。
月余，五万三千八百四十三。
合月法，六万七千五十一。
日度法，二百七万八千五百八十一。
朔大余，五十四。
朔小余，五百三十四。
入月日，二十四。
日余，十六万六千二百七十二。
朔虚分，九百二十三。
斗分，五十一万一千七百五。
度数，十二。
度余，一百七十三万三千一百四十八。
金：周率，九千二十二。
日率，七千二百一十三。
合月数，九。
月余，十五万二千二百九十三。
合月法，十七万一千四百一十八。
日度法，五百三十一万三千九百五十八。
朔大余，二十五。
朔小余，一千一百二十九。
入月日，二十七。
日余，五万六千九百五十四。
朔虚分，三百二十八。
斗分，一百三十万八千一百九十。
度数，二百九十二。
度余，五万六千九百五十四。
水：周率，一万一千五百六十一。
日率，一千八百三十四。
合月数，一。
月余，二十一万一千三百三十一。
合月法，二十一万九千六百五十九。
日度法，六百八十万九千四百二十九。
朔大余，二十九。
朔小余，七百七十三。
入月日，二十八。
日余，六百四十一万九百六十七。
朔虚分，六百八十四。
斗分，一百六十七万六千三百四十五。
度数，五十七。
度余，六百四十一万九百六十七。
推五星
置上元尽所求年，以周率乘之，满日率得一，名积合，不尽为合余。以周率除之，得一，星合往年。二，合前往年。无所得，合其年。合余减周率为度分。金、水积合，奇为晨，耦为夕。
推星合月
以月数、月余各乘积合，满合月法从月，不尽为月余。以纪月去积月，余为入纪月。副以章闰乘之，满章月得一闰，以减入纪月，余以岁中去之，命以天正算外，合月也。其在闰交际，以朔御之。
推入月日
以通法乘月余，合月法乘朔小余，并以会数约之，所得满日度法得一，则星合入月日也。不满为日余，命以朔算外。
推星合度
以周天乘度分，满日度法得一度，不尽为余，命度以牛前五起。
右求星合。
求后合月
以月数加月数，以月余加月余，满合月法得一月，不满岁中，即合其年，满去之，有闰计焉，余为后年；再满，在后二年。金、水加晨得夕，加夕得晨。
求后合朔日
以朔大小余，加合月大小余，上成月者，又加大余二十九，小余七百七十三，小余满日法从大余，命如前。
求后入月日术
以入月日、日余，加合入月日及余，余满日度法得一日，其前合朔小余满其虚分者，减一日后小余满七百七十三以上者，去二十九日，不满，去三十日，其余则后合，入月日也。
求后度
以度加度，度余加度余，满日度法得一度。
木：
伏三十二日。三百四十八万四千六百四十六分。
见三百六十六日。
伏行五度。二百五十万九千九百五十六分。
见行四十度。除逆退十二度，定行二十八度。
火：伏百四十三日。九十七万三千一十三分。
见六百三十六日。
伏行一百一十度。四十七万八千九百九十八分。
见行三百二十度。除逆十七度，定行三百三度。
土：伏三十三日。十六万六千二百七十二分。
见三百四十五日。
伏行三度。一百七十三万三千一百四十八分。
见行十五度。除逆六度，定行九度。
金：晨伏东方八十二日。十一万三千九百八分。
见西方。二百四十六日。除逆六度，定行二百四十六度。
晨伏行百度。十一万三千九百八分。
见东方。日度加西。伏十日，退八度。
水：晨伏三十三日。六百一万二千五百五分。
见西方。三十二日。除逆一度，定行三十二度。
伏行六十五度。六百一万二千五百五分。
见东方。日度如西，伏十八日，退十四度
五星历步术
以法伏日度及余，加星合日度余，余满日度法得一，从全命之如前，得星见日及度也。以星行分母乘见度，余如日度法得一，分不尽半法以上亦得一；而日加所行分，分满其母得一度，逆顺母不同，以当行之母乘故分，如故母而一，当行分也。留者承前，递则减之，伏不尽度，经斗除分，以行母为率，分有损益，前后相御。凡言如盈约满，皆求实之除也；去及除之，取尽之除也。
木：晨与日合，伏，顺，十六日百七十四万二千三百二十三分，行星二度三百二十三万四千六百七分，而晨见东方，在日后。顺，疾，日行五十八分之十一，五十八日行十一度。更顺，迟，日行九分，五十八日行九度。留，不行二十五日而旋。逆，日行七分之一，八十四日退十二度。复留，二十五日而顺，日行五十八分之九，五十八日行九度。顺，疾，日行十一分，五十八日行十一度，在日前，夕伏西方。十六日百七十四万二千三百二十三分，行星二度三百二十三万四千六百七分，而与日合。凡一终，三百九十八日三百四十八万四千六百四十六分，行星四十三度二百五十万九千九百五十六分。
火：晨与日合，伏，顺，七十一日百四十八万九千八百六十八分，行星五十五度百二十四万二千八百六十分半，而晨见东方，在日后。顺，日行二十三分之十四，百八十四日行一百一十二度。更顺，迟，日行二十三分之十二，九十二日行四十八度。留，不行十一日。旋，逆，日行六十二分之十七，六十二日退十七度。复留，十一日而顺，日行十二分，九十二日行四十八度。复顺，疾，日行十四分，百八十四日行百一十二度，在日前，夕伏西方。七十一日百四十八万九千八百六十八分，行星五十五度百二十四万二千八百六十分半，而与日合。凡一终，七百七十九日九十七万三千一十三分，行星四百一十四度四十七万八千九百九十八分。
土：晨与日合，伏，顺，十六日百一十二万二千四百二十六分半，行星一度百九十九万五千八百六十四分半，而晨见东方，在日后。顺，日行三十五分之三，八十七日半行七度半。留，不行三十四日。旋，逆，日行十七分之一，百二日退六度。复三十四日而顺，日行三分，八十七日行七度半，在日前，夕伏西方。十六日百一十二万二千四百二十六分半，行星一度百九十万五千八百六十四分半，而与日合也。凡一终，三百七十八日十六万六千二百七十二分，行星十二度百七十三万三千一百四十八分。
金：晨与日合，伏，逆，五日退四度，而晨见东方，在日后。逆，日行五分度之三，十日退六度。留，不行八日。旋，顺，迟，日行四十六分之三十三，四十六日行三十三度而顺。疾，日行一度九十一分之十五，九十一日行一百六度。更顺，益疾，日行一度九十一分之二十二，九十一日行百一十三度，在日后，晨伏东方。顺，四十一日五万六千九百五十四分，行星五十度五万六千九百五十四分，而与日合。一合，二百九十二日五万六千九百五十四分，行星亦如之。
金：夕与日合，伏，顺，四十一日五万六千九百五十四分，行星五十度五万九千九百五十四分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度九十一分之二十二，九十一日行百一十三度。更顺，减疾，日行一度十五分，九十一日行百六度而顺。迟，日行四十六分之三十三，四十六日行三十三度。留，不行八日。旋，逆，日行五分之三，十日退六度，在日前，夕伏西方，逆，疾，五日退四度，而与日合。凡再合一终，五百八十四日十一万三千九百八分，行星亦如之。
水：晨与日合，伏，逆，九日退七度，而晨见东方，在日后。更逆，疾，一日退一度。留，不行二日。旋，顺，迟，日行九分之八，九日行八度而顺。疾，日行一度四分之一，二十日行二十五度，在日后。晨伏东方，顺，十六日六百四十一万九百六十七分，行星三十二度六百四十一万九百六十七分，而与日合，一合，五十七日六百四十一万九百六十七分，行星亦如之。
水：夕与日合，伏，顺，十六日六百四十一万九百六十七分行星三十二度六百四十一万九百六十七分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度四分之一，二十日行二十五度而顺。迟，日行九分之八，九日行八度。留，不行二日。旋，逆，一日退一度，在日前，夕伏西方。逆，迟，九日退七度，与日合。凡再合一终，一百一十五日六百一万二千五百五分，行星亦如之。
<b>译文</b>
从前，圣人用璇玑模拟北极星的运行，观测天的运行以考察日影的长短、日月五星的运动状况，划分天在地上对应的区域，辨明历法，敬授农时，使万物兴盛，逭关系到调和阴阳，治理万物。那么观测天象以设立卦象，增加闰月以描述季节运动，历敷的本末，就在于此。炎帝区分八个时节以指导农业，轩辕设立三种原则而阐明文字，委派羲和负责占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦制造律吕，大挠首创甲子计时法，隶首作算数。容成综合上述六家的方法，考定节气天象，建立五行，考察日、月的运动，正闰余，着为调历。到少吴时由凤鸟负责历法，颛顼时由南正负责天文，陶唐分派羲与和负责，虞舜则继承了尧时的历法。到夏、商、周时，它们的正朔和历法都不同。传上说：“大火星出，在夏代为三月，在商代为四月，在周代为五月。”所以天子设置日官，诸侯设置日御，以亲睦万国，协调日、月、星辰。以至于寒暑晦明的现象，阴阳生杀的定数，每纪的开始与结束，节气的变更，都与日所在位置相一致而无差错，所以能和洽生灵，贯通天地。随着周代的衰落，史官失职，从事天文历法工作的人员分散，使有关吉凶的现象得不到监理。秦国吞并天下，很推崇五行相生相克之理，自认为获得水德之瑞应，以十月为正月。汉氏刚刚兴起，很多事情都未暇顾及，沿用秦朝的历法达一百多年。一直到汉武帝，才诏令司马迁等人讨论造汉历的事宜，决定行用夏正。其后刘歆又造三统历，并以之解说左传，他的解说看起来很雄辩，但实际上不真实，班固被他所迷惑，把三统历及其对左传的解释写进了漠书中。到光武帝建立束汉，太仆朱浮多次上书说行用的历法有错误，由于当时天下刚刚安定，所以没能详细考定。一直到永平末年，改用四分历，七十多年后，才得以完备。光和年间，委派刘洪、蔡邕修订律历，其后司马彪依据他们的工作，编撰后汉书。天文志，以承继班固的汉书。天文志。现采集魏文帝黄初以后谈论历法的言行，以承继司马彪的工作。
汉灵帝时，会稽东部尉刘洪，研究自古至今的历法及注释，考察日、月、五星的运动状况，发现四分历与天象不符的原因是因为斗分太多。于是刘洪以五百八十九为纪法，一百四十五为斗分，作干象法，冬至日太阳在斗宿二十二度，以他的历术推算日、月、五大行星的运动情况，上与古代记录相符，下则与现在的观测相应。干象历的制定，依据易确立基本数据，依据天体的运行求解变数，称为干象历。又创立日行迟速术，并考定月的运行，白道与黄道相交，曰运行于黄道表裹，在赤道上复有进退。对比以前的历法，更为精密。汉献帝建安元年，郑玄学习了刘洪的历法，认为它很精密，对其作了注释。
魏文帝黄初年间，太史令高堂隆再次详细论述历法，并作了一些变革。太史丞韩翊认为干象历减斗分太多，一段时间过后，推算结果必然先于实际天象，于是造黄初历，以四千八百八十三为纪法，一千二百零五为斗分。
其后尚... -->>
昔者圣人拟宸极以运璿玑，揆天行而序景曜，分辰野，辨躔历，敬农时，兴物利，皆以系顺两仪，纪纲万物者也。然则观象设卦，扐闰成爻，历数之原，存乎此也。逮乎炎帝，分八节以始农功，轩辕纪三纲而阐书契，乃使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，大挠造甲子，隶首作算数。容成综斯六术，考定气象，建五行，察发敛，起消息，正闰余，述而著焉，谓之调历。洎于少昊则凤鸟司历，颛顼则南正司天，陶唐则分命羲和，虞舜则因循尧法。及夏殷承运，周氏应期，正朔既殊，创法斯异。传曰：“火出，于夏为三月，于商为四月，于周为五月。”是故天子置日官，诸侯有日御，以和万国，以协三辰。至乎寒暑晦明之徵，阴阳生杀之数，启闭升降之纪，消息盈虚之节，皆应躔次而无淫流，故能该浃生灵，堪舆天地。周德既衰，史官失职，畴人分散，禨祥不理。秦并天下，颇推五胜，自以获水德之瑞，用十月为正。汉氏初兴，多所未暇，百有余载，袭秦正朔。爰及武帝，始诏司马迁等议造汉历，乃行夏正。其后刘歆更造夏三统，以说左传，辩而非实，班固惑之，采以为志。逮光武中兴，太仆硃浮数言历有乖谬，于时天下初定，未能详考。至永平之末，改行四分，七十余年，仪式乃备。及光和中，乃命刘洪、蔡邕共修律历，其后司马彪因之，以继班史。今采魏文黄初已后言历数行事者，以续司马彪云。
汉灵帝时，会稽东部尉刘洪，考史官自古迄今历注，原其进退之行，察其出入之验，视其往来，度其终始，始悟四分于天疏阔，皆斗分太多故也。更以五百八十九为纪法，百四十五为斗分，作乾象法，冬至日日在斗二十二度，以术追日、月、五星之行，推而上则合于古，引而下则应于今。其为之也，依易立数，遁行相号，潜处相求，名为乾象历。又创制日行迟速，兼考月行，阴阳交错于黄道表里，日行黄道，于赤道宿度复有进退。方于前法，转为精密矣。献帝建安元年，郑玄受其法，以为穷幽极微，又加注释焉。
魏文帝黄初中，太史令高堂隆复详议历数，更有改革。太史丞韩翊以为乾象减斗分太过，后当先天，造黄初历，以四千八百八十三为纪法，千二百五为斗分。
其后尚书令陈群奏，以为：“历数难明，前代通儒多共纷争。黄初之元以四分历久远疏阔，大魏受命，宜改历明时，韩翊首建，犹巩不审，故以乾象互相参校。其所校日月行度，弦望朔晦，历三年，更相是非，无时而决。案三公议皆综尽典理，殊涂同归，欲使效之璿玑，各尽其法，一年之间，得失足定。”奏可。
太史令许芝云：“刘洪月行术用以来且四十余年，以复觉失一辰有奇。”
孙饮议：“史迁造太初，其后刘歆以为疏，复为三统。章和中，改为四分，以仪天度，考合符应，时有差跌，日蚀觉过半日。至熹平中，刘洪改为乾象，推天七曜之符，与天地合其叙。”
董巴议云：“圣人迹太阳于晷景，效太阴于弦望，明五星于见伏，正是非于晦朔。弦望伏见者，历数之纲纪，检验之明者也。”
徐岳议：“刘洪以历后天，潜精内思二十余载，参校汉家太初、三统、四分历术，课弦望于两仪郭间。而月行九岁一终，谓之九道；九章，百七十一岁，九道小终；九九八十一章，五百六十七分而九终，进退牛前四度五分。学者务追合四分，但减一道六十三分，分不下通，是以疏阔，皆由斗分多故也。课弦望当以昏明度月所在，则知加时先后之意，不宜用两仪郭间。洪加太初元十二纪，减十斗下分，元起己丑，又为月行迟疾交会及黄道去极度、五星术，理实粹密，信可长行。今韩翊所造，皆用洪法，小益斗下分，所错无几。翊所增减，致亦留思，然十术新立，犹未就悉，至于日蚀，有不尽效。效历之要，要在日蚀。熹平之际，时洪为郎，欲改四分，先上验日蚀：日蚀在晏，加时在辰，蚀从下上，三分侵二。事御之后如洪言，海内识真，莫不闻见，刘歆以来，未有洪比。夫以黄初二年六月二十九日戊辰加时未日蚀，乾象术加时申半强，于消息就加未，黄初以为加辛强，乾象后天一辰半强为近，黄初二辰半为远，消息与天近。三年正月丙寅朔加时申北日蚀，黄初加酉弱，乾象加午少，消息加未，黄初后天半辰近，乾象先天二辰少弱，于消息先天一辰强，为远天。三年十一月二十九日庚申加时西南维日蚀，乾象加未初，消息加申，黄初加未强，乾象先天一辰远，黄初先天半辰近，消息乾象近中天。二年七月十五日癸未，日加壬月加丙蚀，乾象月加申，消息加未，黄初月加子强，入甲申日，乾象后天二辰，消息后一辰为近，黄初后天六辰远。三年十一月十五日乙巳，日加丑月加未蚀，乾象月加巳半，于消息加午，黄初以丙午月加酉强，乾象先天二辰近，黄初后天二辰强为远，于消息于乾象先一辰。凡课日月蚀五事，乾象四远，黄初一近。”
翊于课难徐岳：“乾象消息但可减，不可加。加之无可说，不可用。”岳云：本术自有消息，受师法，以消息为奇，辞不能改，故列之正法消息。翊术自疏。
木以三年五月二十四日丁亥晨见；黄初五月十七日庚辰见，先七日；乾象五月十五日戊寅见，先九日。
土以二年十一月二十六日壬辰见；乾象十一月二十一日丁亥见，先五日；黄初十一月十八日甲申见，先八日。
土以三年十月十一日壬申伏；乾象同，壬申伏；黄初已下十月七日戊辰伏，先四日。
土以三年十一月二十二日壬子见；乾象十一月十五日乙巳见，先七日；黄初十一月十二日壬寅见，先十日。
金以三年闰六月十五日丁丑晨伏；乾象六月二十五日戊午伏，先十九日；黄初六月二十二日乙卯伏，先二十三日。
金以三年九月十一日壬寅见；乾象以八月十八日庚辰见，先二十三日；黄初八月十五日丁丑见，先二十五日。
水以二年十一月十七日癸未晨见；乾象十一月十三日己卯见，先四日；黄初十一月十二日戊寅见，先五日。
水以二年十二月十三日己酉晨伏；乾象十二月十五日辛亥伏，后二日；黄初十二月十四日庚戌伏，后一日。
水以三年五月十八日辛巳夕见；乾象亦以五月十八日见；黄初五月十七日庚辰见，先一日。
水以三年六月十三日丙午伏；乾象六月二十日癸丑伏，后七日；黄初六月十九日壬子伏，后六日。
水以三年闰六月二十五日丁亥晨见；乾象以闰月九日辛未见，先十六日；黄初闰月八日庚午见，先十七日。
水以三年七月七日己亥伏；乾象七月十一日癸卯伏，后四日；黄初以七月十日壬寅伏，后三日。
水以三年十一月日于晷度十四日甲辰伏；乾象以十一月九日己亥伏，先五日；黄初十一月八日戊戌伏，先六日。
水以三年十二月二十八日戊子夕见；二历同以十二月壬申见，俱先十六日。
凡四星见伏十五；乾象七近二中，黄初五近一中。
郎中李恩议：“以太史天度与相覆校，二年七月、三年十一月望与天度日皆差异，月蚀加时乃后天六时半，非从三度之谓，定为后天过半日也。”
董巴议曰：“昔伏羲始造八卦，作三画，以象二十四气。黄帝因之，初作调历。历代十一，更年五千，凡有七历。颛顼以今之孟春正月为元，其时正月朔旦立春，五星会于庙，营室也，冰冻始泮，蛰虫始发，鸡始三号，天曰作时，地曰作昌，人曰作乐，鸟兽万物莫不应和，故颛顼圣人为历宗也。汤作殷历弗复以正月朔旦立春为节也，更以十一月朔旦冬至为元首，下至周鲁及汉，皆从其节，据正四时。夏为得天，以承尧舜，从颛顼故也。礼记大戴曰虞夏之历，建正于孟春，此之谓也。”
杨伟请：“六十日中疏密可知，不待十年。若不从法，是校方员弃规矩，考轻重背权衡，课长短废尺寸，论是非违分理。若不先定校历之本法，而悬听弃法之末争，则孟轲所谓‘方寸之基，可使高于岑楼’者也。今韩翊据刘洪术者，知贵其术，珍其法。而弃其论，背其术，废其言，违其事，是非必使洪奇妙之式不传来世。若知而违之，是挟故而背师也；若不知而据之，是为挟不知而罔知也。”校议未定，会帝崩而寝。
至明帝景初元年，尚书郎杨伟造景初历。表上，帝遂改正朔，施行伟历，以建丑之月为正，改其年三月为孟夏，其孟、仲、季月虽与夏正不同，至于郊祀蒐狩，班宣时令，皆以建寅为正。三年正月帝崩，复用夏正。
其刘氏在蜀，仍汉四分历。吴中书令阚泽受刘洪乾象法于东莱徐岳，又加解注。中常待王蕃以洪术精妙，用推浑天之理，以制仪象及论，故孙氏用乾象历，至吴亡。
武帝践阼，泰始元年，因魏之景初历，改名泰始历。杨伟推五星尤疏阔，故元帝渡江左以后，更以乾象五星法代伟历。自黄初已后，改作历术，皆斟酌乾象所减斗分、朔余、月行阴阳迟疾，以求折衷。洪术为后代推步之师表，故先列之云。
乾象历
上元己丑以来，至建安十一年丙戌，岁积七千三百七十八年。
乾法，千一百七十八。
会通，七千一百七十一。
纪法，五百八十九。
周天，二十一万五千一百三十。
通法，四万三千二十六。
通数，三十一。
日法，千四百五十七。
岁中，十二。
余数，三千九十。
章岁，十九。
没法，百三。
章闰，七。
会数，四十七。
会岁，八百九十三。
章月，二百三十五。
会率，千八百八十二。
朔望合数，九百四十一。
会月，万一千四十五。
纪月，七千二百八十五。
元月，一万四千五百七十。
月周，七千八百七十四。
小周，二百五十四。
推入纪
置上元尽所求年，以乾法除之，不满乾法，以纪法除之，余不满纪法者，入内纪甲子年也。满法去之，入外纪甲午年也。
推朔
置入纪年，外所求，以章月乘之，章岁而一，所得为定积月，不尽为闰余。闰余十二以上，岁有闰。以通法乘定积月，为假积日，满日法为定积日，不尽为小余。以六旬去积日为大余，命以所入纪，算外，所求年天正十一月朔日也。
求次月，加大余二十九，小余七百七十三，小余满日法从大余。小余六百八十四已上，其月大。
推冬至
置入纪年，外所求，以余数乘之，满纪法为大余，不尽为小余。以六旬去之，命以纪，算外，天正冬至日也。
求二十四气
置冬至小余，加大余十五，小余五百一十五，满二千三百五十六从大余，命如法。
推闰月
以闰余减章岁，余以岁中乘之，满章闰为一月。不尽，半法己上亦一，有进退，以无中月。
推弦望
加大余七，小余五百五十七半，小余如日法从大余，余命如前，得上弦。又加得望，又加得下弦，又加得后月朔。其弦望定小余四百一以下，以百刻乘之，满日法得一刻，不尽什之，求分，以课所近节气夜漏未尽，以算上为日。
推没
置入纪年，外所求，以余数乘之，满纪法为积没，有余加尽积为一。以会通乘之，满没法为大余，不尽为小余。大余命以纪，算外，冬至后没日。
求次没，加大余六十九，小余六十四，满其法从大余，无分为灭。
推日度
以纪法乘积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度。命度以牛前五度起，宿次除之，不满宿，即天正朔夜半日所在。
求次日，加一度，经斗除分；分少，损一度为纪法，加焉。
推月度
以月周乘积日，满周天去之，余满纪法为度，不尽为分，命如上，则天正朔夜半月所在度。
求次月，小月加度二十二，分二百五十八。大月又加一日，度十三，分二百一十七，满法得一度。其冬下旬，月在张、心署之。
推合朔度
以章岁乘朔小余，满会数为大分；不尽，小分。以大分从朔夜半日分，满纪法从度，命如前，天正合朔日月所共会也。
求次月，加度二十九，大分三百一十二，小分满会数从大分，大分满纪法后度，经斗除大分。
求弦望日所在度，加合朔度七，分二百二十五，小分十七半，大小分及度命如前，则上弦日所在度。又加得望、下弦、后月合。
求弦望月行所在度，加合朔度九十八，大分四百八，小分四十一，大小分及度命如前合朔，则上弦月所在。又加得望、下弦、后月合。
求日月昏明度，日以纪法，月以月周，乘所近节气夜漏，二百而一为明分。日以减纪法，月以减月周，余为昏分。各以加夜半，如法为度。
推月蚀
置上元年，外所求，以会岁去之，其余年以会率乘之，如会岁为积蚀，有余加积一。会月乘之，如会率为积月，不尽为月余。以章闰乘余年，满章岁为积闰，以减积月，余以岁中去之，不尽，数起天正。
求次蚀，加五月，月余千六百三十五，满会率得一月，月以望。
推卦用事日
因冬至大余，倍其小余，坎用事日也。加小余千七十五，满乾法从大余，中孚用事日也。
求次卦，各加大余六，小余百三。其四正各因共中日，而倍其小余。
推五行用事
置冬至大小余，加大余二十七，小余九百二十七，满二千三百五十六从大余，得土用事日也。加大余十八，小余六百一十八，得立春木用事日。加大余七十三，小余百一十六，复得土。又加土如得其火，金、水放此。
推加时
以十二乘小余，满其法得一辰，数从子起，算外，朔、弦、望以定小余。
推漏刻
以百乘小余，满其法得一刻，不尽什之，求分，课所近节气，起夜分尽；夜上水未尽，以所近言之。
推有进退，进加退减所得也。进退有差，起二分度后，率四度转增少，少每半者，三而转之，差满三止，历五度而减如初。
月行三道术
月行迟疾，周进有恆。会数从天地凡数，乘余率自乘，如会数而一，为过周分。以从周天，月周除之，历日数也。迟疾有衰，其变者势也。以衰减加月行率，为日转度分。衰左右相加，为损益率。益转相益，损转相损，盈缩积也。半小周乘通法，如通数而一，以历周减焉，为朔行分也。
日转度分 列衰 损益率 盈缩积
月行分一日十四度 十分一退减 益二十二 盈初 二百七十六二日十四度
九分二退减 益二十一 盈二十二 二百七十五三日十四度
七分三退减 益十九 盈四十三 二百七十三四日十四度
四分四退减 益十六 盈六十二 二百七十五日十四度
四退减 益十二 盈七十八 二百六十六六日十三度
十五分四退减 益八 盈九十 二百六十二七日十三度
十一分四退减 益四 盈九十八 二百五十八八日十三度
七分四退减 损 盈百二 二百五十四九日十三度
三分四退加 损四 盈百二 二百五十十日十二度
十八分三退加 损八 盈九十八 二百四十六十一日十二度
十五分四退加 损十一 盈九十 二百四十三十二日十二度
十一分三退加 损十五 盈七十九 二百三十九十三日十二度
八分二退加 损十八 盈六十四 二百三十六十四日十二度
六分一退加 损二十 盈四十六 二百三十四十五日十二度
五分一进减 损二十一 盈二十六 二百三十三十六日十二度
六分二进减 损二十损不足反减五为益，盈有五谓益而损缩初二十，故不足。 盈五缩初 二百三十四十七日十二度
八分三进减 益十八 缩十五 二百三十六十八日十二度
十一分四进减 益十五 缩二十三 二百三十九十九日十二度
十五分三进减 益十一 缩四十八 二百四十三二十日十二度
十八分四进减 益八 缩五十九 二百四十六二十一日十三度
三分四进减 益四 缩六十七 二百五十二十二日十三度
七分四进加 损 缩七十一 二百五十四二十三日十三度
十一分四进加 损四 缩七十一 二百五十八二十四日十三度
十五分四进加 损八 缩六十七 二百六十二二十五日十四度
四进加 损十二 缩五十九 二百六十六二十六日十四度
四分三进加 损十六 缩四十七 二百七十二十七日十四度
七分三历初进加损十九 缩三十一 二百七十三三大周日周日十四度
九分少进加 损二十一 缩十二
二百七十五周日分，三千三百三。
周虚，二千六百六十六。
周日法，五千九百六十九。
通周，十八万五千三十九。
历周，十六万四千四百六十六。
少大法，一千一百一。
朔行大分，万一千八百一。
小分，二十五。
周半，一百二十七。
推合朔入历
以上元积月乘朔行大小分，小分满通数三十一从大分，大分满历周去之，余满周法得一日，不尽为日余。日余命算外，所求合朔入历也。
求次月，加一日，日余五千八百三十二，小分二十五。
求弦望，各加七日，日余二千二百八十三，小分二十九半，分各如法成日，日满二十七日去之。余如周分。不足除，减一日，加周虚。
求弦望定大小余
置所入历盈缩积，以通周乘之为实。令通数乘日余分，以乘损益率，以损益实，为加时盈缩也。章岁减月行分，乘周半为差法，以除之，所得盈减缩加大小余，如日法盈不足，朔加时在前后日。弦望进退大余，为定小余。
求朔弦望加时定度
以章岁乘加时盈缩，差法除之，所得满会数为盈缩大小分，以盈减缩加本日月所在，盈不足，以纪法进退度，为日月所在定度分。
推月行夜半入历
以周半乘朔小余，如通数而一，以减入历日余。余不足，加周法而减焉，却一日。却得周日加其分，即得夜半入历。
求次日，转一日，因日余到二十七日，日余满周日分去之，不直周日也。其不满直之，加周虚于余，余皆次日入历日余也。
求月夜半定度
以夜半入历日余，乘损益率，如周法得一，不尽为余，以损益缩积，余无所损，破全为法损之，为夜半盈缩也。满章岁为度，不尽为分。通数乘分及余，余如周法从分，分满纪法从度，以盈加缩减本夜半度及余，为定度。
求变衰法
以入历日余乘列衰，如周法得一，不尽为余，即谷知其日变衰也。
求次历
以周虚乘列衰，如周法为常数，历竟，辄以加变衰，满列衰去之，转为次历变衰也。
求次日夜半定度
以变衰进加退减历日转分，分盈不足，章岁出入度也。通数乘分及余，而日转加夜定度，为次日也。竟历不直周日，减余三十八，乃以通数乘之，直周日者加余八百三十七，又以少大分八百九十九，加次历变衰，转求如前。
求次日夜半盈缩
以变衰减加损益率，为变损益率，而以转损益夜半盈缩。历竟损不足，反减为入次历，减加余如上数。
求昏明月度
以历月行分乘所近节气夜漏，二百而一为明分。以减月行分为昏分。分如章岁为度，以通数乘分，以加夜半定度，为昏明定度。余分半法以上成，不满废之。
求月行迟疾
月经四表，出入三道，交错分天，以月率除之，为历之日。周天乘朔望合，如会月而一，朔合分也。通数乘合数，余如会数而一，退分也。以从月周，为日进分。会数而一，为差率也。
阴阳历 衰 损益率 兼数
一日 一减 益十七 初
二日限余千二百九十微分四百五十七
一减 益十六 十七
此为前限
三日 三减 益十五 三十三
四日 四减 益十二 四十八
五日 四减 益八 六十
六日 三减 益四 六十八
七日 三减减不足，反损为加，谓益有一，当减三，为不足
益一 七十二
八日 四加 损二过极损之，谓月行半周， 度已过极，则当损之。
九日 四加 损六 七十一
十日 三加 损十 六十五
十一日 二加 损十三 五十五
十二日 一加 损十五 四十二
十三日限余三千九百一十二， 微分一千七百五十二。
此为后限
一加历初大，分日。 损十六 二十七
分日五千二百而三少加少者 损十六大 十一
少大法，四百七十三。
历周，十万七千五百六十五。
差率，万一千九百八十六。
朔合分，万八千三百二十八。
微分，九百一十四。
微分法，二千二百九。
推朔入阴阳历
以会月去上元积月，余以朔合分及微分各乘之，微分满其法从合分，合分满周天去之，其余不满历周者，为入阳历；满去之，余为入阴历。余皆如月周得一日，算外，所求月合朔入历，不尽为日余。
求次月
加二日，日余二千五百八十，微分九百一十四，如法成日，满十三去之，除余如分日。阴阳历竟互入端，入历在前限余前，后限余后者月行中道也。
求朔望定数
各置入迟疾历盈缩大小分，会数乘小分为微分，盈减缩加阴阳日余，日余盈不足，进退日而定。以定日余乘损益率，如月周得一，以损益兼数，为加时定数。
推夜半入历
以差率乘朔小余，如微分法得一，以减入历日余，不足，加月周而减之，却一日。却得分日加其分，以会数约微分为小分，即朔日夜半入历。
求次日，加一日，日余三十一，小分三十一，小分如会数从余，余满月周去之，又加一日，历竟下，日余满分日去之，为入历初也。不满分日者直之，加余二千七百二，小分三十一，为入次历。
求夜半定日
以通数乘入迟疾历夜半盈缩及余，余满周半为小分，以盈加缩减入阴阳日余，日余盈不足，以月周进退日而定也。以定日余乘损益率，如月周得一，以损益兼数，为夜半定数也。
求昏明数
以损益率乘所近节气夜漏，二百而一为明，以减损益率为昏，而以损益夜半数为昏明定数。
求月去极度
置加时若昏明定数，以十二除之为度，其余三而一为少，不尽一为强，二少弱也，所得为月去黄道度也。其阳历以加日所在黄道历去极度，阴历以减之，则月去极度。强正弱负，强弱相并，同名相从，异名相消。其相减也，同名相消，异名相从，无对互之，二强进少而弱。
上元己丑以来，至建安十一年丙戌，岁积七千三百七十八。
己丑 戊寅 丁卯 丙辰 乙巳 甲午 癸未
壬申 辛酉 庚戌 己亥 戊子 丁丑 丙寅
推五星
五行：木，岁星；火，荧惑；土，填星；金，太白；水，辰星。各以终日与天度相约，为周率、日率。章岁乘周，为月法。章月乘日，为月分。分如法，为月数。通数乘月法，日度法也。斗分乘周率，为斗分。日度法用纪法乘周率，故此同以分乘之。
五星朔大余、小余。以通法各乘月数，日法各除之，为大余，不尽为小余。以六十去大余。
五星入月日、日余。各以通法乘月余，以合月法乘朔小余，并之，会数约之，所得各以日度法除之，则皆是。
五星度数、度余。减多为度余分，以周天乘之，以日度法约之，所得为度，不尽为度余，过周天去之及斗分。
纪月，七千二百八十五。
章闰，七。
章月，二百三十五。
岁中，十二。
通法，四万三千二十六。
日法，千四百五十七。
会数，四十七。
周天，二十一万五千一百三十。
斗分，一百四十五。
木：周率，六千七百二十二。
日率，七千三百四十一。
合月数，十三。
月余，六万四千八百一。
合月法，十二万七千七百一十八。
日度法，三百九十五万九千二百五十八。
朔大余，二十三。
朔小余，一千三百七。
入月日，十五。
日余，三百四十八万四千六百四十六。
朔虚分，一百五十。
斗分，九十七万四千六百九十。
度数，三十三。
度余，二百五十万九千九百五十六。
火：周率，三千四百七。
日率，七千二百七十一。
合月数，二十六。
月余，二万五千六百二十七。
合月法，六万四千七百三十三。
日度法，二百万六千七百二十三。
朔大余，四十七。
朔小余，一千一百五十七。
入月日，十二。
日余，九十七万三千一十三。
朔虚分，三百。
斗分，四十九万四千一十五。
度数，四十八。
度余，一百九十九万一千七百六。
土：周度，三千五百二十九。
日率，三千六百五十三。
合月数，十二。
月余，五万三千八百四十三。
合月法，六万七千五十一。
日度法，二百七万八千五百八十一。
朔大余，五十四。
朔小余，五百三十四。
入月日，二十四。
日余，十六万六千二百七十二。
朔虚分，九百二十三。
斗分，五十一万一千七百五。
度数，十二。
度余，一百七十三万三千一百四十八。
金：周率，九千二十二。
日率，七千二百一十三。
合月数，九。
月余，十五万二千二百九十三。
合月法，十七万一千四百一十八。
日度法，五百三十一万三千九百五十八。
朔大余，二十五。
朔小余，一千一百二十九。
入月日，二十七。
日余，五万六千九百五十四。
朔虚分，三百二十八。
斗分，一百三十万八千一百九十。
度数，二百九十二。
度余，五万六千九百五十四。
水：周率，一万一千五百六十一。
日率，一千八百三十四。
合月数，一。
月余，二十一万一千三百三十一。
合月法，二十一万九千六百五十九。
日度法，六百八十万九千四百二十九。
朔大余，二十九。
朔小余，七百七十三。
入月日，二十八。
日余，六百四十一万九百六十七。
朔虚分，六百八十四。
斗分，一百六十七万六千三百四十五。
度数，五十七。
度余，六百四十一万九百六十七。
推五星
置上元尽所求年，以周率乘之，满日率得一，名积合，不尽为合余。以周率除之，得一，星合往年。二，合前往年。无所得，合其年。合余减周率为度分。金、水积合，奇为晨，耦为夕。
推星合月
以月数、月余各乘积合，满合月法从月，不尽为月余。以纪月去积月，余为入纪月。副以章闰乘之，满章月得一闰，以减入纪月，余以岁中去之，命以天正算外，合月也。其在闰交际，以朔御之。
推入月日
以通法乘月余，合月法乘朔小余，并以会数约之，所得满日度法得一，则星合入月日也。不满为日余，命以朔算外。
推星合度
以周天乘度分，满日度法得一度，不尽为余，命度以牛前五起。
右求星合。
求后合月
以月数加月数，以月余加月余，满合月法得一月，不满岁中，即合其年，满去之，有闰计焉，余为后年；再满，在后二年。金、水加晨得夕，加夕得晨。
求后合朔日
以朔大小余，加合月大小余，上成月者，又加大余二十九，小余七百七十三，小余满日法从大余，命如前。
求后入月日术
以入月日、日余，加合入月日及余，余满日度法得一日，其前合朔小余满其虚分者，减一日后小余满七百七十三以上者，去二十九日，不满，去三十日，其余则后合，入月日也。
求后度
以度加度，度余加度余，满日度法得一度。
木：
伏三十二日。三百四十八万四千六百四十六分。
见三百六十六日。
伏行五度。二百五十万九千九百五十六分。
见行四十度。除逆退十二度，定行二十八度。
火：伏百四十三日。九十七万三千一十三分。
见六百三十六日。
伏行一百一十度。四十七万八千九百九十八分。
见行三百二十度。除逆十七度，定行三百三度。
土：伏三十三日。十六万六千二百七十二分。
见三百四十五日。
伏行三度。一百七十三万三千一百四十八分。
见行十五度。除逆六度，定行九度。
金：晨伏东方八十二日。十一万三千九百八分。
见西方。二百四十六日。除逆六度，定行二百四十六度。
晨伏行百度。十一万三千九百八分。
见东方。日度加西。伏十日，退八度。
水：晨伏三十三日。六百一万二千五百五分。
见西方。三十二日。除逆一度，定行三十二度。
伏行六十五度。六百一万二千五百五分。
见东方。日度如西，伏十八日，退十四度
五星历步术
以法伏日度及余，加星合日度余，余满日度法得一，从全命之如前，得星见日及度也。以星行分母乘见度，余如日度法得一，分不尽半法以上亦得一；而日加所行分，分满其母得一度，逆顺母不同，以当行之母乘故分，如故母而一，当行分也。留者承前，递则减之，伏不尽度，经斗除分，以行母为率，分有损益，前后相御。凡言如盈约满，皆求实之除也；去及除之，取尽之除也。
木：晨与日合，伏，顺，十六日百七十四万二千三百二十三分，行星二度三百二十三万四千六百七分，而晨见东方，在日后。顺，疾，日行五十八分之十一，五十八日行十一度。更顺，迟，日行九分，五十八日行九度。留，不行二十五日而旋。逆，日行七分之一，八十四日退十二度。复留，二十五日而顺，日行五十八分之九，五十八日行九度。顺，疾，日行十一分，五十八日行十一度，在日前，夕伏西方。十六日百七十四万二千三百二十三分，行星二度三百二十三万四千六百七分，而与日合。凡一终，三百九十八日三百四十八万四千六百四十六分，行星四十三度二百五十万九千九百五十六分。
火：晨与日合，伏，顺，七十一日百四十八万九千八百六十八分，行星五十五度百二十四万二千八百六十分半，而晨见东方，在日后。顺，日行二十三分之十四，百八十四日行一百一十二度。更顺，迟，日行二十三分之十二，九十二日行四十八度。留，不行十一日。旋，逆，日行六十二分之十七，六十二日退十七度。复留，十一日而顺，日行十二分，九十二日行四十八度。复顺，疾，日行十四分，百八十四日行百一十二度，在日前，夕伏西方。七十一日百四十八万九千八百六十八分，行星五十五度百二十四万二千八百六十分半，而与日合。凡一终，七百七十九日九十七万三千一十三分，行星四百一十四度四十七万八千九百九十八分。
土：晨与日合，伏，顺，十六日百一十二万二千四百二十六分半，行星一度百九十九万五千八百六十四分半，而晨见东方，在日后。顺，日行三十五分之三，八十七日半行七度半。留，不行三十四日。旋，逆，日行十七分之一，百二日退六度。复三十四日而顺，日行三分，八十七日行七度半，在日前，夕伏西方。十六日百一十二万二千四百二十六分半，行星一度百九十万五千八百六十四分半，而与日合也。凡一终，三百七十八日十六万六千二百七十二分，行星十二度百七十三万三千一百四十八分。
金：晨与日合，伏，逆，五日退四度，而晨见东方，在日后。逆，日行五分度之三，十日退六度。留，不行八日。旋，顺，迟，日行四十六分之三十三，四十六日行三十三度而顺。疾，日行一度九十一分之十五，九十一日行一百六度。更顺，益疾，日行一度九十一分之二十二，九十一日行百一十三度，在日后，晨伏东方。顺，四十一日五万六千九百五十四分，行星五十度五万六千九百五十四分，而与日合。一合，二百九十二日五万六千九百五十四分，行星亦如之。
金：夕与日合，伏，顺，四十一日五万六千九百五十四分，行星五十度五万九千九百五十四分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度九十一分之二十二，九十一日行百一十三度。更顺，减疾，日行一度十五分，九十一日行百六度而顺。迟，日行四十六分之三十三，四十六日行三十三度。留，不行八日。旋，逆，日行五分之三，十日退六度，在日前，夕伏西方，逆，疾，五日退四度，而与日合。凡再合一终，五百八十四日十一万三千九百八分，行星亦如之。
水：晨与日合，伏，逆，九日退七度，而晨见东方，在日后。更逆，疾，一日退一度。留，不行二日。旋，顺，迟，日行九分之八，九日行八度而顺。疾，日行一度四分之一，二十日行二十五度，在日后。晨伏东方，顺，十六日六百四十一万九百六十七分，行星三十二度六百四十一万九百六十七分，而与日合，一合，五十七日六百四十一万九百六十七分，行星亦如之。
水：夕与日合，伏，顺，十六日六百四十一万九百六十七分行星三十二度六百四十一万九百六十七分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度四分之一，二十日行二十五度而顺。迟，日行九分之八，九日行八度。留，不行二日。旋，逆，一日退一度，在日前，夕伏西方。逆，迟，九日退七度，与日合。凡再合一终，一百一十五日六百一万二千五百五分，行星亦如之。
<b>译文</b>
从前，圣人用璇玑模拟北极星的运行，观测天的运行以考察日影的长短、日月五星的运动状况，划分天在地上对应的区域，辨明历法，敬授农时，使万物兴盛，逭关系到调和阴阳，治理万物。那么观测天象以设立卦象，增加闰月以描述季节运动，历敷的本末，就在于此。炎帝区分八个时节以指导农业，轩辕设立三种原则而阐明文字，委派羲和负责占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦制造律吕，大挠首创甲子计时法，隶首作算数。容成综合上述六家的方法，考定节气天象，建立五行，考察日、月的运动，正闰余，着为调历。到少吴时由凤鸟负责历法，颛顼时由南正负责天文，陶唐分派羲与和负责，虞舜则继承了尧时的历法。到夏、商、周时，它们的正朔和历法都不同。传上说：“大火星出，在夏代为三月，在商代为四月，在周代为五月。”所以天子设置日官，诸侯设置日御，以亲睦万国，协调日、月、星辰。以至于寒暑晦明的现象，阴阳生杀的定数，每纪的开始与结束，节气的变更，都与日所在位置相一致而无差错，所以能和洽生灵，贯通天地。随着周代的衰落，史官失职，从事天文历法工作的人员分散，使有关吉凶的现象得不到监理。秦国吞并天下，很推崇五行相生相克之理，自认为获得水德之瑞应，以十月为正月。汉氏刚刚兴起，很多事情都未暇顾及，沿用秦朝的历法达一百多年。一直到汉武帝，才诏令司马迁等人讨论造汉历的事宜，决定行用夏正。其后刘歆又造三统历，并以之解说左传，他的解说看起来很雄辩，但实际上不真实，班固被他所迷惑，把三统历及其对左传的解释写进了漠书中。到光武帝建立束汉，太仆朱浮多次上书说行用的历法有错误，由于当时天下刚刚安定，所以没能详细考定。一直到永平末年，改用四分历，七十多年后，才得以完备。光和年间，委派刘洪、蔡邕修订律历，其后司马彪依据他们的工作，编撰后汉书。天文志，以承继班固的汉书。天文志。现采集魏文帝黄初以后谈论历法的言行，以承继司马彪的工作。
汉灵帝时，会稽东部尉刘洪，研究自古至今的历法及注释，考察日、月、五星的运动状况，发现四分历与天象不符的原因是因为斗分太多。于是刘洪以五百八十九为纪法，一百四十五为斗分，作干象法，冬至日太阳在斗宿二十二度，以他的历术推算日、月、五大行星的运动情况，上与古代记录相符，下则与现在的观测相应。干象历的制定，依据易确立基本数据，依据天体的运行求解变数，称为干象历。又创立日行迟速术，并考定月的运行，白道与黄道相交，曰运行于黄道表裹，在赤道上复有进退。对比以前的历法，更为精密。汉献帝建安元年，郑玄学习了刘洪的历法，认为它很精密，对其作了注释。
魏文帝黄初年间，太史令高堂隆再次详细论述历法，并作了一些变革。太史丞韩翊认为干象历减斗分太多，一段时间过后，推算结果必然先于实际天象，于是造黄初历，以四千八百八十三为纪法，一千二百零五为斗分。
其后尚... -->>
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